Ecuación para una cuerda de guitarra

El conocimiento, gracias a internet, puede y debe ser un bien común, inmaterial y de acceso universal. Los fabricantes harían bien en explicarnos qué es exactamente, como se comporta , se mide, se controla y produce una cuerda de guitarra.

Aunque cada vez menos, aún puede encontrarse en el embalaje, junto a la serie de calibres seleccionados para ese juego, indicaciones sobre la tensión de afinación de cada cuerda. La competencia de cifras, y la tendencia de los usuarios a probar una tensión cada vez mayor, ha llevado a algunos cordeleros a autodefinir su propio concepto de alta, media o baja tensión, advirtiendo que su tensión media es alta para otras marcas. ¡Si no hay normas comunes, por qué no confundir con las propias!. 

D´Addario fue uno de los primeros en explicar de dónde procedían esas cifras. Según indican en su página  “Basados en la afinación estándar y la longitud de escala, estos cálculos ayudaron a los intérpretes a tener una mayor comprensión de lo que hay detrás de su sonido y de la sensación táctil”. 

Diversas actualizaciones han conducido a programas de cálculo como Strings Tension Pro. Ya no se habla de las ecuaciones que las soportan,

Sin aclaración alguna, llegar a descubrir que son valores relativos, pero no reales, requiere el uso de dinamómetros y calibres de precisión. 

Muy difícilmente se van a cumplir si se suprime la información que ayudaría a los interpretes a entender por qué la mejor cuerda, natural, aquella de nailón o cualquier otro polímero sintético, cambia su sonido de forma caprichosa. Mientras sigamos sin saber qué podemos esperar de una cuerda, dejaremos a merced de nuestro estado de ánimo, o a un indemostrable súbito deterioro,como causa para sustituirlas por otras nuevas.

La primera ecuación presentada al público por D´Addario, es hermosa por su simplicidad. Se debe a los estudios de Mersenne y Taylor. Hemos despejado el valor de la tensión a aplicar para conseguir la frecuencia f deseada, con una guitarra de tiro L y una cuerda de masa lineal µ=d.S.

Hace tiempo nos propusimos encontrar una ecuación que se correspondiera, lo más exactamente posible ,con la conducta de una cuerda real sometida a las condiciones ambientales propias de un habitat interior urbano. Supusimos que su forma no sería simple. Incluiría muchos más términos que las simplificaciones introducidas  de forma poco científica por los fabricantes. 

Hoy presentamos la ecuación por si alguien quiere construirse un String Tension más Scientific que Pro. Con la totalidad de datos que ajustan la ecuación a la realidad se puede acceder a una comprensión mucho mas realista y prosaica de lo que es una cuerda musical. Se desvanecen, miasmas,  mitos y comportamientos fantasmagóricos. 

La ecuación deducible de su obra "Traité de la Harmonie universelle" publicada en 1627 por el monje francés Marin Mersenne (Oizé 1588- París 1648) descrita como tal en el "Methodus incremetorum" escrito en 1715 por el matemático inglés Brook Taylor (Edmonton 1658-Londres 1731) es magnifica por su sencillez.Solo por ello se hace imprescindible. Pero debe presentarse convenientemente.

Expone con transparencia completa, que:

•  la frecuencia de  vibración de una cuerda (diseñada para dar una nota concreta de la escala) depende, de forma directa, de la raíz cuadrada de la tensión aplicada entre sus extremos fijos. Una guitarra con tiro de 630 mm en lugar de 650 mm, (un 3% inferior) logrará  vibrar a la misma frecuencia (nota) con una tensión (un 6%) más baja.
• A mayor densidad (d) de la cuerda, la frecuencia (f) se hace menor (produce una nota más grave). Si el grosor de la cuerda aumenta, aumenta su sección  (S) y, aún siendo del mismo material, (igual densidad), la frecuencia también disminuye (se hace más grave). Por eso la prima es más delgada que la cuerda 2 y esta menos robusta que la tercera cuerda.

Esa información es la que D´Addario considera que es conveniente transmitir. Olvida indicar que la ecuación es válida para cuerdas del mismo tipo, mas de acero que de nailon y solo son exactas bajo unas condiciones ambientales precisas.

Las cuerdas de nailón son pequeños capilares higrométricoa extremadamente alterables por la humedad ambiental y la temperatura. Pequeño "lapsus" fundamental. El siguiente "lapsus" es aún peor: El diámetro de la cuerda de nailon disminuye al aplicar tensión entre sus extremos fijos. No hay justificación para un olvido semejante. Sin las condiciones de aplicabilidad la ecuación solo es un garabato.

La segunda ecuación es más moderna. Proviene de la serie de textos sobre "Vibration and Sound" escritos en 1948 por el físico americano Phillip McCord Morse (Louisiana 1903-Massachusetts 1985)

Otra bella ecuación que introduce nuevos conceptos. Incluye dos términos más del polinomio de Taylor, inventado irónicamente por el mismo  matemático anterior.  Aparece el módulo de elasticidad del material de la cuerda (E). A través de la definición del coeficiente k=radio cuerda/2,  y del valor de densidad (d) se añade el efecto del radio de la cuerda. Hay que decir que el producto dS=µ (densidad-Kg/m³- por Sección -m²- = masa lineal- Kg/m -del hilo, también permite acceder al radio de la cuerda).

La siguiente tabla muestra los 12 primeros valores de un total de 94 datos medidos para una cuerda real.
Los datos de tensión (en Newtons. Basta dividir por 9,81 para convertir en Kgs-fuerza), que obtenemos al aplicar estas dos ecuaciones resultan inaceptables, si se comparan con los experimentales (en rojo), a pesar de que el error sea inferior al 9,4% para la ecuación de Mersenne-Taylor (Eq1) y del 2,4% para los obtenidos con la ecuación de Morse (Eq2). La misma cuerda que a las 6 am afina a 55,1 N, afina a las 13:30 a 54,6 N.¿por qué?. Eso no lo predicen las ecuaciones. ¿Es solo un error experimental o hay algo más?

Las primeras observaciones críticas vienen de percatarse que los valores de Humedad relativa y temperatura  no son constantes.A pesar de estar en una habitación de una vivienda con calefacción termostatizada, la climatología , el que sea un dia de lluvia o soleado afecta a nuestra cuerda estirada en el potro de tortura. También el paso del tiempo puede modificar la capacidad de la cuerda para alcanzar afinación a nota a una determinada tensión. La que seguro no aguanta un mínimo análisis es la de suponer que el calibre de la cuerda no varía apenas desde su valor en reposo, a pesar de ser sometida a una tensión de unos 5 Kgs que la estira entre sus extremos.

Siméon Denis Poisson (Pithiviers, Francia, 21 de junio de 1781 - Sceaux (Altos del Sena), Francia, 25 de abril de 1840) fue un físico y matemático francés Disponemos gracias a él de una forma simple de predecir cuanto baja el calibre de la cuerda.

El coeficiente de Poisson (denotado mediante la letra griega  γ "gamma", es una constante elástica que proporciona una medida del estrechamiento de sección de un prisma de material elástico lineal e isótropo cuando se estira longitudinalmente y se adelgaza en las direcciones perpendiculares a la de estiramiento.

El alargamiento de la cuerda durante la experiencia se denomina ε y se define como la elongación en relación a la longitud de partida de la cuerda L₀. Normalmente 650 mm en la guitarra española.
Con la ayuda de este coeficiente de Poissón, podemos deducir que el estiramiento de la cuerda cumplirá la siguiente ecuación:

Sustituyendo en la ecuación de Morse (Eq 2) el nuevo valor de r y dando un valor de γ=0,31 obtenemos (Eq 2 corregida) valores bastante más exactos, Este primer éxito, ns indica que vamos en la buena dirección.

El error , (la diferencia respecto al valor medido experimentalmente), salvo en el primer punto (t =0 minutos) es ya de un máximo del 1%

Mirando con calma los valores de Tensión en afinación obtenidos experimentalmente se aprecia que se ven afectados en proporción directa al valor de la temperatura ambiental y son matizados por el valor de humedad del aire.

A continuación mostramos las ecuaciones corregidas para cumplir con más precisión los valores experimentales.
Podemos determinar con ella:

1. El valor de frecuencia si dotamos a la cuerda de una tensión, y medimos cuanto tiempo se aplica, y conocemos los factores ambientales , la tensión de la cuerda 
2. El valor de la tensión si conocemos la temperatura y humedad de la sala, para obtener la frecuencia de afinación requerida. Podemos determinar qué valor tendrá la tensión dentro de un par de días o pasado un mes.
3. El valor del módulo de elasticidad y su variación con el tiempo y los factores ambientales
4. Lo que tendremos que ir alargando la cuerda con el paso del tiempo dentro de unos valores ambientales entre 20 y 23ºC y 30 a 60% de Humedad relativa.

No hay misterios. Quien esté interesado en que le explique como se deducen basta con preguntar.

Podemos ver, para los 12 primeros datos experimentales, que la coincidencia es bastante correcta, teniendo en cuenta que la afinación raramente se alcanza con un valor único de tensión. Habitualmente hay un intervalo en el que la afinación apenas varía experimentalmente. Reproduce muy bien las variaciones de humedad y temperatura que se dan en una sala real.


La determinación de los coeficientes A, B, C, y D es experimental. El coeficiente de Poisson corresponde al del material de la cuerda. El módulo de elasticidad a una temperatura y humedad dadas, es fácilmente determinable.

La exactitud se mantiene coherentemente a lo largo de los 94 datos obtenidos experimentalmente a intervalos de afinación de 8 horas, durante un total de 33 días desde la colocación de la cuerda bajo tensión. Podemos verlo en esta gráfica en la que hemos separado un 2% los valores obtenidos para hacer más visible la coincidencia de la forma de ambas curvas, experimental y obtenida con la ecuación.

La evolución de la curva tensión de afinación , elongación necesaria para conseguirla permite ver la influencia de la variación diaria de los factores ambientales, en tres puntos horarios del día dividido en tres intervalos de 8 horas.

A pesar de que han transcurrido 33 días, la tensión de afinación aumenta por efecto de la lluvia de finales de mes.