El problema de las cuerdas falsas

David C. Hurd (Madison 1935-2012) en la introducción a su libro “Left-Brain Lutherie” defiende a quienes trabajan en aplicar Física y Tecnología para construir mejores instrumentos musicales y comparten sus ideas con otros.

En el capítulo 9  “Other Topics in Instrument Building” trata el tema de los problemas originados por la variabilidad de diámetro de las cuerdas.

“Tanto constructores como intérpretes deben ser conscientes que aunque la cuerda tenga inicialmente un diámetro constante en toda su longitud, partes de la misma pueden disminuir de forma diferente al aplicar tensión”.

Aunque los cambios puedan parecer pequeños, se trataría de poder calcular su efecto en la frecuencia de vibración de la cuerda.

El análisis propuesto por David Hurd parte de la ecuación de Mersenne-Taylor:

Donde f es la frecuencia en Hz, L es la longitud de la cuerda, T es la tensión y μ es la masa de la cuerda por unidad de longitud.

Reordenando la ecuación para despejar la T, se obtiene:

Vamos a dividir la cuerda en dos mitades iguales de longitud L/2. La tensión de la cuerda es la misma en ambas mitades. Equivale a pisar la cuerda sobre el traste 12 de la guitarra.

Dividiendo ambos términos de la igualdad por L y reordenando obtenemos:

Podemos relacionar la masa lineal de la cuerda con su diámetro si consideramos que la cuerda es un cilindro de densidad uniforme de radio r (diámetro 2r=ϕ)

Substituyendo,

Obtenemos el simple resultado:

Si calculamos el cociente del diámetro promedio de la mitad de una cuerda respecto al de la otra mitad, podemos obtener la desviación de la frecuencia.

En la figura mostramos la frecuencia de cada una de las 6 cuerdas de la guitarra en afinación convencional y la frecuencia teórica obtenida al pisarlas en cada traste, a lo largo del diapasón.

0 1	Mi 82,4 Fa 87,3	La 110	Re 146,8	Sol 195,9	Si 246,9 Do 261,6	Mi 329,6 Fa 349,2		0 1
2		Si 123,4	Mi 164,8	La 220				2
3	Sol 97,9	Do 130,8	Fa 176,4		Re 293,6	Sol 391,9		3
4				Si 246,9				4
5	La 110	Re 146,8	Sol 195,9	Do 261,6	Mi 329,6	La 440		5
6					Fa 349,2			6
7	Si 128,4	Mi 164,8	La 220	Re 293,6		Si 493,8		7
8	Do 130,8	Fa 174,6			Sol 391,9	Do 523,2		8
9			Si 246,9	Mi 329,6				9
10	Re 146,8	Sol 195,9	Do 261,6	Fa 349,2	La 440	Re 587,3		10
11								11
12	Mi 164,8	La 220	Re 293,6	Sol 391,9	Si 493,8	Mi 659,2		12
13	Fa 174,6				Do 523,2	Fa 698,4		13
14		Si 246,9	Mi 329,6	La 440				14
15	Sol 195,9	Do 329,6	Fa 349,2		Re 587,3	Sol 783,9		15
16				Si 493,8				16
17	La 220	Re 293,6	Sol 391,9	Do 523,2	Mi 659,2	La 880		17
18					Fa 698,4			18
19	Si 246,9	Mi 329,6	La 440	Re 587,3		Si 987,7		19
20	Do 261,6	Fa 349,2			Sol 783,9	Do 1046,5		20
21			Si 493,8	Mi 659,2				21
22	Re 293,6	Sol 391,9	Do 523,2	Fa 698,4	La 880	Re 1174,6		22

En un ukelele tenor de cuerdas dobles con afinación G, C, E, A , Hurd encuentra para cada orden los valores de diámetro promedio para la cuerda E (329,6 Hz)  de 0,572 mm y 0,574 mm para la mitad superior y 0,568 y 0,575, para la mitad por debajo del traste 12, para el orden formado por dos cuerdas iguales afinadas al aire en A (440Hz). Eso conduce a cocientes de 1,007, 0,999, 0,997 y 0,996 para las cuerdas dobles respectivas. La diferencia en cents resulta en 12,4, -1,5, -5,3 y -6,6 cents.

Hemos querido reproducir el cálculo, utilizando el método descrito por Hurd, seleccionado dos juegos nuevos de cuerdas comerciales con tiples de fluorocarbono y bajos de nylon entorchado.

Optima                Natural carbon High Nº6 SCHT

Savarez                500 ARJ Alliance TN + Corum HT

A lo largo de la longitud de la cuerda bajo una misma tensión proporcionada por una pesa de 150 grs para las tiples y de 640 grs para las bordonas, realizamos 20 medidas de calibre equidistantes.              

Optima Natural carbon High Nº6 SCHT
Cuerda	E1	B2	G3	D4	A5	E6
1	0,664	0,698	0,888	0,742	0,929	1,126
2	0,661	0,698	0,893	0,744	0,932	1,123
3	0,660	0,695	0,892	0,739	0,939	1,121
4	0,646	0,705	0,893	0,736	0,934	1,125
5	0,644	0,705	0,896	0,742	0,936	1,126
6	0,641	0,699	0,890	0,735	0,930	1,122
7	0,641	0,700	0,887	0,735	0,928	1,126
8	0,637	0,701	0,887	0,736	0,931	1,126
9	0,641	0,704	0,886	0,733	0,930	1,125
10	0,632	0,696	0,887	0,742	0,931	1,123
11	0,632	0,695	0,884	0,733	0,932	1,127
12	0,645	0,696	0,877	0,735	0,925	1,130
13	0,629	0,692	0,883	0,735	0,918	1,120
14	0,623	0,700	0,871	0,756	0,928	1,117
15	0,634	0,707	0,880	0,723	0,931	1,121
16	0,630	0,700	0,876	0,730	0,931	1,119
17	0,635	0,703	0,886	0,731	0,926	1,122
18	0,649	0,700	0,883	0,740	0,919	1,129
19	0,645	0,696	0,892	0,727	0,926	1,122
20	0,647	0,699	0,891	0,750	0,924	1,121
ϕ promedio mitad 1	0,647	0,700	0,890	0,738	0,932	1,124
ϕ promedio mitad 2	0,637	0,699	0,882	0,736	0,926	1,123
Relación ϕ1/ϕ2	1,015	1,002	1,009	1,003	1,006	1,001

Savarez 500 ARJ Alliance TN+ Corum HT
cuerda	E1	B2	G3	D4	A5	E6
1	0,624	0,686	0,841	0,752	0,869	1,128
2	0,624	0,686	0,841	0,754	0,873	1,128
3	0,624	0,685	0,839	0,751	0,87	1,126
4	0,624	0,683	0,843	0,754	0,87	1,128
5	0,625	0,684	0,843	0,755	0,871	1,129
6	0,624	0,683	0,843	0,752	0,872	1,124
7	0,624	0,683	0,841	0,754	0,87	1,125
8	0,623	0,684	0,841	0,755	0,871	1,125
9	0,624	0,683	0,84	0,754	0,87	1,125
10	0,623	0,682	0,839	0,754	0,869	1,124
11	0,623	0,683	0,837	0,754	0,868	1,126
12	0,623	0,683	0,838	0,752	0,869	1,127
13	0,624	0,681	0,839	0,754	0,87	1,127
14	0,623	0,681	0,835	0,755	0,868	1,122
15	0,623	0,68	0,836	0,752	0,872	1,125
16	0,623	0,683	0,834	0,753	0,871	1,125
17	0,623	0,682	0,834	0,752	0,869	1,125
18	0,623	0,681	0,836	0,753	0,869	1,126
19	0,623	0,682	0,835	0,754	0,869	1,123
20	0,623	0,681	0,836	0,751	0,869	1,126
ϕ promedio mitad 1	0,624	0,684	0,841	0,754	0,871	1,126
ϕ promedio mitad 2	0,623	0,682	0,836	0,753	0,869	1,125
Relación ϕ1/ϕ2	1,001	1,003	1,006	1,001	1,001	1,001

Optima Natural carbon High Nº6 SCHT
	E1	B2	G3	D4	A5	E6
Frecuencia 2 (traste 12)	659,2	493,8	391,9	293,6	220	164,8
Frecuencia 1	669,3	494,7	395,3	294,6	221,4	165,0
Diferencia 1-2 Hz	10,1	0,9	3,4	1,0	1,4	0,2
Diferencia en Cents	26,44	3,22	14,85	5,64	11,18	2,31

Savarez 500 ARJ Alliance TN+ Corum HT
	E1	B2	G3	D4	A5	E6
Frecuencia 2 (traste 12)	659,2	493,8	391,9	293,6	220	164,8
Frecuencia 1	660,0	495,4	394,3	293,8	220,3	164,9
Diferencia f1-f2 en Hz	0,8	1,6	2,4	0,2	0,3	0,1
Diferencia en Cents	2,22	5,58	10,53	1,15	2,19	1,54

No es un análisis matemático difícil. La recompensa proviene de lo que pone de manifiesto esta deducción..

La ecuación de Mersenne indica que si la masa por unidad de longitud de la cuerda aumenta la frecuencia disminuye.  Como masa y diámetro a igual densidad son directamente proporcionales, una cuerda de menor diámetro equivale a una cuerda que incrementa su frecuencia relativa  para la misma tensión.

En la comparativa sale ganando el juego Savarez respecto al Juego de cuerdas Optima utilizado en el ensayo.

Excepto la tercera cuerda (Sol al aire) la frecuencia de afinación exacta, esperable en el traste 12, se modifica entre 1 y 6 cents. Las cuerdas Optima E1, G3 y A5 superan ampliamente ese valor. En el rango de 660 Hz un semitono tiene el valor de 38 cents. 26,4 cents en la cuerda E1 de fluorocarbono Optima, es excesiva diferencia. La distorsión de frecuencias de afinación se traduce en menos armónicos,menos vibración por simpatía con otras cuerdas y peor sustain,  apreciable, en la calidad y brillantez de las notas correspondientes, problema que desafortunadamente se extiende a todo lo largo del diapasón.

La compensación necesaria para corregir la inarmonicidad (pérdida de afinación) modificando el punto de apoyo de cada cuerda en la  selleta y  cejuela, deberá ser muy superior en el caso menos favorable . 

Traduciendo a un lenguaje asequible no solo para el luthier con inquietudes, sino al guitarrista: 

Pequeñas variaciones de tan solo 10 micras (milésimas de milímetro) en el calibre de la cuerda significa la diferencia de casi un semitono entre la afinación de la cuerda (E1) al aire ajustada con el mejor afinador electrónico y la nota que devuelve la cuerda al pulsarla presionándola sobre el traste 12.