No uniformidad del espesor de una cuerda 3ª-Sol de nylon para guitarra española. Efecto en el sonido según la Física.

“Cualquier variación en la distribución de masa a lo largo de la cuerda distorsiona la relación armónica entre sobre tonos.
Las ondas no viajan con velocidad constante a lo largo de este tipo de cuerdas, lo que produce que la forma de onda resulte alterada durante su viaje.
La línea continua muestra la forma de las funciones características para una cuerda de masa lineal variable µ=µ0(1-(x/a)2) Las líneas punteadas muestran la correspondiente función sinusoidal para una cuerda de masa uniforme µ0
Se aprecia que el cambio no es muy grande. Consiste en un desplazamiento hacia arriba en aquellas partes de la onda donde la cuerda es más pesada (es decir, cerca del centro) y el consiguiente arrastre de los nodos hacia el centro”.




“Vibration and Sound “ de Philip McCord Morse- 1903-1985.-Físico USA (1903 Shrevepor (Louisiana)-1985 Concord (Massachusetts))
Esta obra analiza, mediante ecuaciones,  el efecto de las vibraciones longitudinales, transversales, el giro y el movimiento de los soportes de cuerdas atadas por los extremos. En su estudio de la cuerda flexible analiza el efecto de la densidad y la tensión variable.

Como se muestra en otros artículos de este Blog, hemos encontrado algunas cuerdas reales con un grado de dispersión (la diferencia entre el diámetro mínimo y máximo), de 0,046mm para G3 llegando a 0,064mm en una D4

La tercera cuerda (G3-Sol) del juego Savarez 520J alcanza su valor de frecuencia fundamental de afinación con una tensión teórica (suponiendo comportamiento elástico y masa lineal constante) de 57,879 N.

La dispersión encontrada en las mediciones del espesor a lo largo de la longitud de la cuerda Savarez 520J G3 de nylon es de 0,002 mm ( 2 micras). La desviación estándar para una media de 20 valores es de 0,00065
El efecto ha de ser mínimo para esta cuerda rectificada sólo igualada por una cristalina  Augustine del juego Blue
Si suponemos que la dispersión fuera de 46 micras, como la encontrada en juegos de otros fabricantes, ¿que cabe esperar si aplicamos las ecuaciones de Morse?.

La relación entre la frecuencia fundamental y sus armónicos deja de ser constante según un factor β, fruto de miles de cálculos matemáticos,  que se muestra en la siguiente tabla.

Podemos ver que para una cuerda con dispersión de calibre de sólo 0,021mm,  la frecuencia fundamental f1 aumenta  en 5,19 cents (0,588 Hz)
Recordemos que

Para una dispersión de 0,141 mm. el aumento es de 3,136Hz y 27,48 Cents. No hemos encontrado cuerdas comerciales tan irregulares.
Con dispersiones de 0,046 mm  tendríamos una situación intermedia  disminuyendo 11,48 cents o 1,304 Hz
La tercera cuerda (G) del juego Savarez 520J alcanza su valor de frecuencia fundamental de afinación con una tensión teórica (suponiendo comportamiento elástico y masa lineal constante) de 57,879 N.
Si el comportamiento es elástico pero el calibre de la cuerda sigue una distribución parabólica con un grosor 46 micras menor en los extremos,  la tensión que se obtiene de la ecuación corregida siguiente es  58,263Hz, siendo f1 =196,00 Hz, la frecuencia fundamental de la cuerda homogénea.

Hay que bajar la tensión a 57,915N para afinar la cuerda a exactamente  196,000 Hz. (Nota G).
¿Ignoran los fabricantes de cuerdas esta primera corrección de la ecuación teórica de Mersenne?
 Con esa tensión el segundo armónico que debería tener 196 x 2=392 Hz se produciría a una frecuencia de 393,172 Hz a 5,17 cents (1,17 Hz) por encima del valor armónico, y así sucesivamente.
1,954 Hz más para el tercer armónico (5,74 cents) y 589,95 Hz en lugar del exacto 588,000Hz
Pueden parecer valores pequeños, pero realmente hablamos del efecto no desdeñable de micras de diferencia en el espesor de la cuerda entre centro y extremos, como puede verse en las figuras siguientes:
Con tan sólo una diferencia de 21 micras entre el grosor mayor y mínimo de la cuerda produce una desviación de 5 cents en el primer y segundo armónico.

Una diferencia de 46 milésimas de milímetro se traduce en desviaciones de 16-17 cents en los sobretonos segundo y tercero

Una dispersión semejante 141 micras no ha sido encontrada en las cuerdas comerciales

En un futuro artículo verificaremos, mediante grabación microfónica y análisis en Cubase, el efecto en los sobre tonos que se visualizan al pulsar la mejor y peor cuerda G3 fabricada. Analizaremos la homogeneidad de calibre del hilo de pescar y repetiremos la experiencia.
Ejemplos recientes parecen mostrar que las exigencias (medio ambientales, de calidad etc…) y el engaño a los consumidores son estrategias utilizadas  en periodo de crisis económica.